A mí también me ha llegado directamente una notificación de apremio por el impuesto de basuras con un recargo por no haberlo abonado en tiempo y tampoco había recibido ningún aviso. Cuando fui a correos a recogerlo había un montón de notificaciones, así que me di cuenta de que no era la única con el mismo problema.
Al parecer, la primera vez que pagas el impuesto el ayuntamiento está obligado a enviarte un aviso, pero los siguientes años, no. Debes ser tú el que esté pendiente de los plazos o, para evitar este tipo de cosas, domiciliar los recibos.
En cuanto al IBI, efectivamente, si no manifiestas tu voluntad de pagarlo de una sola vez, lo fraccionan en 4 por defecto.